মাধ্যমিকের বীজগণিতের গুরুত্বপূর্ণ মান নির্ণয়ের অংকের নমুনা প্রশ্ন ও উত্তর।

মাধ্যমিকের সপ্তম থেকে দশম শ্রেণী পর্যন্ত বীজগণিতের মান নির্ণয়ের অংক রয়েছে। মান নির্ণয়ের অংকগুলো পরীক্ষায় বহুনির্বাচনী, সংক্ষিপ্ত ও সৃজনশীল প্রশ্নে প্রতি পরীক্ষায় আসে।

পরীক্ষায় যে ধরনের মান নির্ণয়ের অংক বহুনির্বাচনী, সংক্ষিপ্ত ও সৃজনশীল প্রশ্নে বারবার আসে, সেই ধরনের কিছু অংকের নমুনা প্রশ্ন ও উত্তর নিচে দেওয়া হল। এই প্রশ্নগুলির উত্তর সূত্রসহ ভালোভাবে আয়ত্ত্ব করলে পরীক্ষায় যেকোনো ধরনের মান নির্ণয় অংক পারা যাবে।

মান নির্ণয়ের অংক

1. x + y = 5, xy = 2 হলে, x² + y² = ?
2. a - 1/a = 3 হলে, a² + 1/a² = ?
3. a + 1/a = 4 হলে, a - 1/a = ?
4. m - 1/m = 2 হলে, (m + 1/m)² = ?
5. a + 1/a = 5 হলে, a³ + 1/a³ = ?
6. p - 1/p = √3 হলে, (p⁶ + 1) / p³ = ?
7. x + y = 4, x - y = 3 হলে,
   • 4xy = ?
   • xy = ?
   • x² + y² = ?
8. x + 1/x = 2 হলে, x⁴ + 1/x⁴ = ?

উপরের মান নির্ণয়ের অংকগুলির সমাধান

১. \( x+y=5, \; xy=2 \) হলে \( x^2+y^2 \) নির্ণয় কর।

প্রদত্ত, \( x+y=5 \) এবং \( xy=2 \)।
আমরা জানি, \( x^2+y^2=(x+y)^2-2xy \)।
এখন প্রদত্ত মানগুলো সূত্রে বসালে পাই,
\( x^2+y^2=5^2-2\times2 \)
\( =25-4=21 \)।
অতএব, নির্ণেয় মান = 21।

২. \( a-\frac{1}{a}=3 \) হলে \( a^2+\frac{1}{a^2} \) নির্ণয় কর।

প্রদত্ত, \( a-\frac{1}{a}=3 \)।
আমরা জানি, \( (a-\frac{1}{a})^2=a^2+\frac{1}{a^2}-2 \)।
অতএব, \( a^2+\frac{1}{a^2}=(a-\frac{1}{a})^2+2 \)।
এখন মান বসালে পাই,
\( =3^2+2=9+2=11 \)।
অতএব, নির্ণেয় মান = 11।

৩. \( a+\frac{1}{a}=4 \) হলে \( a-\frac{1}{a} \) নির্ণয় কর।

প্রদত্ত, \( a+\frac{1}{a}=4 \)।
আমরা জানি, \( (a-\frac{1}{a})^2=(a+\frac{1}{a})^2-4 \)।
এখন মান বসালে পাই,
\( (a-\frac{1}{a})^2=4^2-4=16-4=12 \)।
সুতরাং, \( a-\frac{1}{a}=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt{3} \)।
অতএব, নির্ণেয় মান = ±2√3।

৪. \( m-\frac{1}{m}=2 \) হলে \( (m+\frac{1}{m})^2 \) নির্ণয় কর।

প্রদত্ত, \( m-\frac{1}{m}=2 \)।
আমরা জানি, \( (m+\frac{1}{m})^2=(m-\frac{1}{m})^2+4 \)।
এখন মান বসালে পাই,
\( (m+\frac{1}{m})^2=2^2+4 \)
\( =4+4=8 \)।
অতএব, নির্ণেয় মান = 8।

৫. \( a+\frac{1}{a}=5 \) হলে \( a^3+\frac{1}{a^3} \) নির্ণয় কর।

প্রদত্ত, \( a+\frac{1}{a}=5 \)।
আমরা জানি, \( a^3+\frac{1}{a^3}=(a+\frac{1}{a})^3-3(a+\frac{1}{a}) \)।
এখন মান বসালে পাই,
\( =5^3-3\times5 \)
\( =125-15=110 \)।
অতএব, নির্ণেয় মান = 110।

৬. \( p-\frac{1}{p}=\sqrt{3} \) হলে \( \frac{p^6+1}{p^3} \) নির্ণয় কর।

প্রদত্ত, \( p-\frac{1}{p}=\sqrt{3} \)।
আমরা জানি, \( \frac{p^6+1}{p^3}=p^3+\frac{1}{p^3} \)।
আবার, \( (p+\frac{1}{p})^2=(p-\frac{1}{p})^2+4=3+4=7 \)।
সুতরাং, \( p+\frac{1}{p}=\sqrt{7} \)।
অতএব, \( p^3+\frac{1}{p^3}=7\sqrt{7}-3\sqrt{7}=4\sqrt{7} \)।
নির্ণেয় মান = 4√7।

৭. \( x+y=4 \) এবং \( x-y=3 \) হলে (i) \(4xy\), (ii) \(xy\), (iii) \(x^2+y^2\) নির্ণয় কর।

প্রদত্ত, \( x+y=4 \) এবং \( x-y=3 \)।
আমরা জানি, \( 4xy=(x+y)^2-(x-y)^2 \)।
অতএব, \( 4xy=16-9=7 \)।
সুতরাং, \( xy=\frac{7}{4} \)।
আবার, \( x^2+y^2=\frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{2}=\frac{16+9}{2}=\frac{25}{2} \)।
নির্ণেয় মান = 7, 7/4, 25/2।

৮. \( x+\frac{1}{x}=2 \) হলে \( x^4+\frac{1}{x^4} \) নির্ণয় কর।

প্রদত্ত, \( x+\frac{1}{x}=2 \)।
এখান থেকে পাই, \( x=1 \)।
এখন, \( x^4+\frac{1}{x^4}=1^4+\frac{1}{1^4} \)।
অতএব, \( =1+1=2 \)।
সুতরাং, নির্ণেয় মান = 2।