সপ্তম শ্রেণীর বীজগণিত ৫.১ ও ৫.২ সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর।

সপ্তম শ্রেণীর বীজগণিত ৫.১ ও ৫.২ এর নমুনা সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর। 

সৃজনশীল প্রশ্নগুলি পরীক্ষার জন্য খুবই গুরুত্বপূর্ণ। এই প্রশ্নগুলি বারবার চর্চা করলে পরীক্ষায় আসা সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তর দেওয়া সহজ হবে। 

৭ম শ্রেণি — গণিত — বীজগণিত (৫.১ ও ৫.২)

১। \( a-\frac{1}{a}=3,\quad a+b=4,\quad ab=2 \)

ক) \( (x+y-z)^2 \) এর বর্গ নির্ণয় কর। ২

খ) \( a^2+\frac{1}{a^2}=11 \) — প্রমাণ কর। ৪

গ) \( (a-b)^2 \) এর মান নির্ণয় কর। ৪

---

২। \( x+\frac{1}{x}=2,\quad m=7,\quad n=6 \)

ক) \( (5x-7) \) কে \( (5x+5) \) দ্বারা গুণ কর। ২

খ) \( 25m^2-40mn+16n^2 \) এর মান নির্ণয় কর। ৪

গ) প্রমাণ কর যে, \( x^4+\frac{1}{x^4}=2 \) ৪

---

৩। \( p+q=6,\quad p-q=4,\quad a+\frac{1}{a}=3 \)

ক) সূত্রের সাহায্যে \( (3a+2b+1) \) কে \( (3a-2b+1) \) দ্বারা গুণ কর। ২

খ) \( ab \) এবং \( pq \) এর মান নির্ণয় কর। ৪

গ) \( \left(a^2-\frac{1}{a^2}\right)^2=45 \) — দেখাও। ৪

---

৪। \( p+\frac{1}{p}=5,\quad x+y=6,\quad xy=8 \)

ক) সূত্রের সাহায্যে গুণ করঃ \( \left(x-\frac{1}{2}a\right)\left(x-\frac{5}{2}a\right) \) ২

খ) দেখাও যে, \( p^4+\frac{1}{p^4}=527 \) ৪

গ) প্রমাণ কর যে, \( x^2+y^2-3xy=-4 \) ৪

৭ম শ্রেণি গণিত — সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তর

১। \( a-\frac{1}{a}=3,\; a+b=4,\; ab=2 \)

ক) \( (x+y-z)^2 \) এর বর্গ নির্ণয়:

আমরা জানি,
\[ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \] অতএব, \[ (x+y-z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2zx \] সুতরাং নির্ণেয় বর্গের মান হলো— \[ \boxed{x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2zx} \]

খ) \( a^2+\frac{1}{a^2}=11 \) প্রমাণ:

প্রদত্ত আছে, \[ a-\frac{1}{a}=3 \] উভয় পাশে বর্গ করলে, \[ \left(a-\frac{1}{a}\right)^2=3^2 \] অর্থাৎ, \[ a^2+\frac{1}{a^2}-2=9 \] বা, \[ a^2+\frac{1}{a^2}=9+2 \] \[ =a^2+\frac{1}{a^2}=11 \] প্রমাণিত।

গ) \( (a-b)^2 \) এর মান নির্ণয়:

আমরা জানি, \[ (a-b)^2=(a+b)^2-4ab \] এখন, \[ (a+b)^2=4^2=16 \] এবং, \[ 4ab=4\times2=8 \] অতএব, \[ (a-b)^2=16-8 \] \[ =8 \] সুতরাং, \[ \boxed{(a-b)^2=8} \]

---

২। \( x+\frac{1}{x}=2,\; m=7,\; n=6 \)

ক) \( (5x-7)(5x+5) \) গুণ:

\[ (5x-7)(5x+5) \] \[ =25x^2+25x-35x-35 \] \[ =25x^2-10x-35 \] সুতরাং উত্তর হলো— \[ \boxed{25x^2-10x-35} \]

খ) \( 25m^2-40mn+16n^2 \) এর মান:

\[ =(5m-4n)^2 \] এখন, \[ =(5\times7-4\times6)^2 \] \[ =(35-24)^2 \] \[ =11^2 \] \[ =121 \] সুতরাং উত্তর, \[ \boxed{121} \]

গ) \( x^4+\frac{1}{x^4}=2 \) প্রমাণ:

প্রদত্ত, \[ x+\frac{1}{x}=2 \] উভয় পাশে বর্গ করলে, \[ x^2+\frac{1}{x^2}+2=4 \] অতএব, \[ x^2+\frac{1}{x^2}=2 \] আবার বর্গ করলে, \[ \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2=2^2 \] \[ x^4+\frac{1}{x^4}+2=4 \] অতএব, \[ x^4+\frac{1}{x^4}=2 \] প্রমাণিত।

---

৩। \( p+q=6,\; p-q=4,\; a+\frac{1}{a}=3 \)

ক) গুণ কর:

\[ (3a+2b+1)(3a-2b+1) \] \[ =((3a+1)+2b)((3a+1)-2b) \] \[ =(3a+1)^2-(2b)^2 \] \[ =9a^2+6a+1-4b^2 \] সুতরাং উত্তর— \[ \boxed{9a^2+6a+1-4b^2} \]

খ) \( pq \) এর মান নির্ণয়:

আমরা জানি, \[ (p+q)^2-(p-q)^2=4pq \] অতএব, \[ 6^2-4^2=4pq \] \[ 36-16=4pq \] \[ 20=4pq \] \[ pq=5 \] সুতরাং, \[ \boxed{pq=5} \]

গ) \( \left(a^2-\frac{1}{a^2}\right)^2=45 \) দেখাও:

প্রদত্ত, \[ a+\frac{1}{a}=3 \] বর্গ করলে, \[ a^2+\frac{1}{a^2}+2=9 \] \[ a^2+\frac{1}{a^2}=7 \] এখন, \[ \left(a^2-\frac{1}{a^2}\right)^2 = \left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)^2-4 \] \[ =7^2-4 \] \[ =49-4 \] \[ =45 \] প্রমাণিত।